1. 9.3 距离度量

1.1. 学习目标

在机器学习过程中，对于函数 dist()，若它是一"距离度量" (distance measure)，则需满足一些基本性质:

直递性常被直接称为“三角不等式”。

欧氏距离(Euclidean Distance)是最容易直观理解的距离度量方法，我们小学、初中和高中接触到的两个点在空间中的距离一般都是指欧氏距离。

举例:

X=[[1,1],[2,2],[3,3],[4,4]];
经计算得:
d = 1.4142    2.8284    4.2426    1.4142    2.8284    1.4142

在曼哈顿街区要从一个十字路口开车到另一个十字路口，驾驶距离显然不是两点间的直线距离。这个实际驾驶距离就是“曼哈顿距离(Manhattan Distance)”。曼哈顿距离也称为“城市街区距离”(City Block distance)。

举例:

X=[[1,1],[2,2],[3,3],[4,4]];
经计算得:
d =   2     4     6     2     4     2

国际象棋中，国王可以直行、横行、斜行，所以国王走一步可以移动到相邻8个方格中的任意一个。国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步？这个距离就叫切比雪夫距离(Chebyshev Distance)。

举例:

X=[[1,1],[2,2],[3,3],[4,4]];
经计算得:
d =   1     2     3     1     2     1

闵氏距离(Minkowski Distance)不是一种距离，而是一组距离的定义，是对多个距离度量公式的概括性的表述。

两个n维变量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为：

其中p是一个变参数：

根据p的不同，闵氏距离可以表示某一类/种的距离。

小结：

1 闵氏距离，包括曼哈顿距离、欧氏距离和切比雪夫距离，都存在明显的缺点:

e.g. 二维样本(身高[单位:cm],体重[单位:kg]),现有三个样本：a(180,50)，b(190,50)，c(180,60)。

a与b的闵氏距离（无论是曼哈顿距离、欧氏距离或切比雪夫距离）等于a与c的闵氏距离。但实际上身高的10cm并不能和体重的10kg划等号。

2 闵氏距离的缺点：

(1)将各个分量的量纲(scale)，也就是“单位”相同的看待了;

(2)未考虑各个分量的分布（期望，方差等）可能是不同的。

我们常将属性划分为"连续属性" (continuous attribute)和"离散属性" (categorical attribute)，前者在定义域上有无穷多个可能的取值，后者在定义域上是有限个取值.